Tài liệu gồm 43 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Hoàng Việt, trình bày nguyên tắc ghép trục xét sự biến thiên của hàm hợp g = f(u(x)), từ đó giúp giải nhanh một số bài toán nâng cao liên quan đến hàm hợp trong chương trình Giải tích 12.
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm g = f(u(x)), giả sử ta được tập xác định D = (a1; a2) ∪ (a3; a4) ∪ . . . ∪ (an−1; an). Ở đây có thể là a1 ≡ −∞; an ≡ +∞.
Bước 2. Xét sự biến thiên của u = u(x) và hàm y = f(x) (bước 2 có thể làm gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản).
Bước 3. Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa [x; u = u(x)] và [u; g = f(u)]. Bảng này thường có 3 dòng giả sử như sau:
x a1 a2 · · · an−1 an
u = u(x) u1 b1 b2 · · · bk u2 · · · un−1 un
g = f(u(x)) g(u1) g(b1) g(b2) g(bk) · · · g(u2) · · · g(un)
Cụ thể các thành phần trong BBT như sau:
+ Dòng 1. Xác định các điểm kỳ dị của hàm u = u(x), sắp xếp các điểm này theo thứ tăng dần từ trái qua phải, giả sử như sau: a1 < a2 < . . . < an−1 < an (xem chú ý 1).
+ Dòng 2. Điền các giá trị ui = u(ai) với (i = 1, n). Trên mỗi khoảng (ui; ui+1), i = 1, n − 1 cần bổ xung các điểm kỳ dị b1; b2; . . .; bk của hàm y = f(x). Trên mỗi khoảng (ui; ui+1), i = 1, n − 1 cần sắp xếp các điểm ui; bk theo thứ tự chẳng hạn: ui < b1 < b2 < . . . < bk < ui+1 hoặc ui > b1 > b2 > . . . > bk > ui+1 (xem chú ý 2).
+ Dòng 3. Xét chiều biến thiên của hàm g = f(u(x)) dựa vào BBT của hàm y = f(x) bằng cách hoán đổi: u đóng vai trò của x; f(u) đóng vai trò của f(x). Sau khi hoàn thiện BBT hàm hợp g = f(u(x)) ta thấy được hình dạng đồ thị hàm này.
Bước 4. Dùng BBT hàm hợp g = f(u(x)) giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận.
Chú ý 1:
+ Các điểm kỳ dị của u = u(x) gồm: Điểm biên của tập xác định D, các điểm cực trị của u = u(x).
+ Nếu xét hàm u = |u(x)| thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của phương trình u(x) = 0 (là hoành độ giao điểm của u = u(x) với trục Ox).
+ Nếu xét hàm u = u(|x|) thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số u = u(x) với trục Oy).
Chú ý 2:
+ Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của u = u(x).
+ Điểm kỳ dị của y = f(x) gồm: Các điểm tại đó f(x) và f0(x) không xác định; các điểm cực trị hàm số y = f(x).
+ Nếu xét hàm g = |f(u(x))| thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của phương trình f(x) = 0 (là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục Ox).
+ Nếu xét hàm g = f(u(|x|)) thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục Oy).