Đề thi học kỳ 1 Toán 9 năm học 2017 – 2018 phòng GD và ĐT Gò Vấp – TP. HCM gồm 7 bài toán tự luận, thời gian làm bài 90 phút, đề thi có lời giải chi tiết.
Trích dẫn đề thi HK1 Toán 9:
Cho đường tròn (O; R). Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của (O) (B và C là các tiếp điểm); OA cắt BC tại H.
a) Chứng minh OA là đường trung trực của đoạn BC và OH.OA = R^2
b) Vẽ đường kính CD của (O), AD cắt (O) tại điểm E khác D, BC cắt DE tại K, EC cắt OA tại V, tia KV cắt AC tại M. Chứng minh CE ⊥ AK và V là trung điểm của đoạn KM.
c) Vẽ đường thẳng OT vuông góc với DE tại T, OT cắt đường thẳng BC tại Q. Chứng minh QD là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Giải:
a) OA là đường trung trực của đoạn BC
Ta có AB = AC ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
OB = OC = R
Vậy OA là đường trung trực của BC
⇒ OA ⊥ BC tại H và HB = HC
Chứng minh OH.OA = R^2
AB , AC là tiếp tuyến với (O) tại B và C ⇒ AB ⊥ OB và AC ⊥ OB
Xét △OAB vuông tại B , BH⊥OA , ta có OB^2 = OH.OA =R^2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
[ads]
b) CE⊥ AKV là trung điểm của đoạn KM
Ta có △CDE nội tiếp đường tròn (O) có cạnh CD là đường kính
Vậy △CDE vuông tại E ⇒ CE ⊥ DE hay CE ⊥ AK
Chứng minh V là trung điểm của đoạn KM
Do CE ⊥ AK và AH ⊥ CK (vì OA ⊥ BC)
⇒ V là trực tâm của △ACK
⇒ KV ⊥ AC tại M và CD ⊥ AC ⇒ KM//CD
KV//OD ⇒ KV/OD = AV/AO (hệ quả định lí Talet)
VM//OC ⇒ VM/OC = AV/AO (hệ quả định lí Talet)
⇒ KV/OD = VM/OC ⇒ KV = VM (vì OD = OC = R)
Vậy V là trung điểm của KM
c) QD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Xét △OBQ vuông tại H và △OTA vuông tại T, ta có:
∠O chung ⇒ △OBQ ∽ △OTA (g.g) ⇒ OT.OQ = OH.OA
Vì OD^2 = OB^2 = OH.OA ⇒ OD^2 = OT.OQ ⇒ △ODQ ∽ △OTD (c.g.c)
⇒ ∠ODQ = ∠OTD = 90° ⇒ DQ ⊥ OD
Mà OD = R ⇒ QD là tiếp tuyến với (O) tại D